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Software: SimX - Nadelantrieb - Robust-Optimierung - Ausschuss-Minimierung

2010-09-20T11:40:56Z

Roman Goldberg:

[[Software:_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung|↑]] <div align="center"> [[Software:_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_Ausschuss-Problem|←]] [[Software:_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_Grundlagen|→]] </div>
<div align="center">''' Ausschuss-Minimierung (Experiment-Ergebnisse) '''</div>

Die für den Optimierungsverlauf wichtigen Kenngrößen wollen wir in Diagrammen darstellen. In gewissem Sinne gehört dies noch zur Experiment-Konfiguration. Um den Computer schon zu beschäftigen, können wir aber die Optimierung zuvor starten:
* '''Nennwert-Verläufe:'''
** Versagen
** Diagramme der variablen Entwurfsparameter (Nennwerte)
** Nennwert-Verläufe der Restriktionen ''tZyklus'', ''L_Magnet'' und ''d_Draht''
* '''Verteilungsdichten:'''
** Die geometrisch determinierten Restriktionen ''d_Draht'' und ''L_Magnet'' sind im Experiment nicht von streuenden Parametern abhängig und brauchen deshalb auch nicht als Verteilungsdichten dargestellt werden
** Dafür kommen nur die streuenden Restriktionen ''tZyklus'', ''Praegung'' und ''dT_Draht'' in Frage.
Die Verbesserung der Lösung im Sinne einer Ausschuss-Minimierung ist für das Beispiel deutlich sichtbar:
* Das ursprüngliche Nennwert-Optimum ist vor allem gekennzeichnet durch teilweises Nichtprägen. Daraus resultiert aus dem Modell die scheinbare Temperaturerhöhung, welche durch die vereinfachte Temperaturermittlung bedingt ist. Der untere Wert von kleiner Null für ''tZyklus'' resultiert ebenfalls aus den "nichtprägenden" Simulationsläufen und hat auch nichts mit der Realität zu tun:<div align="center">[[Bild:Software_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_ausschussmin_start.gif| ]]</div>
* Nach der Ausschuss-Minimierung erfolgt innerhalb des Streubereiches ein stabiles Prägen:<div align="center">[[Bild:Software_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_ausschussmin_end1.gif| ]]</div>
'''''Achtung:'''''
* Leider ist die unstetige Restriktionsgröße '''Praegung''' für die probabilistische Optimierung ziemlich anspruchsvoll.
* Es kann passieren, dass der Bereich des teilweisen Nichtprägens bei der Optimierung nicht verlassen wird, weil sich dort ein flaches lokales Minimum der Zielfunktion befindet.
* Stellt man dies fest, sollte man die Ausgangslösung so Umkonfigurieren, dass die zugehörige Stichprobe zum kompletten Prägen führt. Dafür gibt es zwei einfache Varianten:
# Verringerung des Nennwertes '''k_Feder''' um 30 bis 50%. Damit steht mehr Kraft für das Prägen zur Verfügung. Die davon ausgehende Optimierung vermeidet Bereiche des unvollständigen Prägens und führt wahrscheinlich zum minimalen Versagen.
# Falls die erste Variante nicht hilft, kann man auch '''d_Anker''' um ca. 10% vergrößern, so dass die Stichprobe der neuen Ausgangslösung ebenfalls zum komletten Prägen der Stichprobe führt.
Im Beispiel gab es keine Probleme infolge des teilweisen Nichtprägens der Ausgangslösung. Aber es gelingt nicht, mit der vorgegebenen Obergrenze für ''tZyklus'' von 3,4 ms ein Versagen=0 zu erreichen, ca. 4% der Lösungen liegen noch leicht oberhalb der Grenzwerte für die Zykluszeit und für die Temperaturerhöhung:<div align="center">[[Bild:Software_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_ausschussmin_nicht_null.gif| ]]</div>
* Die Verbesserung des ursprünglichen, instabilen Verhaltens wurde in der Optimierung durch eine weichere Rückhol-Feder in Kombination mit einem etwas größerem Ankerdurchmesser und einer Verringerung der Windungszahl erreicht.
* Die Ausschuss-Minimierung ist ein zweistufiger Prozess:
# Das finden einer zulässigen Lösung für die Nennwerte der Entwurfsparameter besitzt höchste Priorität ('''Strafe''' als Zielfunktion). Da im Beispiel das Nennwert-Optimum noch Restriktionen geringfügig verletzte, dauert es eine Weile, bis '''Strafe=0''' erreicht wird.
# Erst wenn Strafe=0 erreicht ist, benutzt die Optimierung '''Versagen''' als Zielfunktion. Die weitere Optimierung hat das Ziel, '''Versagen=0''' zu erreichen.
Im Beispiel wurde das Ziel von 3,4 ms für die maximale Zykluszeit um ca. 10% verfehlt, was ärgerlich ist! Dagegen ist das geringfügige Überschreiten der zulässigen Erwärmung unkritisch:
* Es wurde mit 25 K bewusst ein kleiner Wert gewählt, um einen thermisch günstigen Magneten zu erhalten.
* Aus den bisherigen Nennwert-Optimierungen konnte man die Erkenntnis gewinnen, dass die minimal mögliche Zykluszeit sehr stark von der zulässigen Erwärmung abhängt.
* Wir werden deshalb den zulässigen Wert für die Erwärmung auf '''dT_Spule=40 K''' erhöhen.
Die Zykluszeit streut innerhalb der Stichprobe ziemlich stark. Das Ziel besteht darin, die gesamte Streuung unterhalb der max. zulässigen Zykluszeit von 3,4 ms zu platzieren. Dafür hat sich im Beispiel die folgende Strategie bewährt:
* Man setzt vor der Optimierung die obere Grenze von '''tZyklus=3.1 ms'''.
* Dann startet man die Optimierung.
* '''''Hinweis:''''' Da es im Beispiel nun Probleme gab, eine vollständig prägende Stichprobe zu erhalten, wurde für die Anfangslösung der Ankerdurchmesser um 1 mm erhöht! Deshalb wird in der ersten Phase der Optimierung eine zulässige Nennwert-Lösung gesucht.
* Ist Strafe=0 erreicht, so beginnt die Ausschuss-Minimierung, welche im Beispiel bei '''Versagen=5%''' endet:<div align="center">[[Bild:Software_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_ausschussmin_og3_1ms.gif| ]]</div>
* Dies entspricht hier ausschließlich der Teilversagenswahrscheinlichkeit von tZyklus! Setzt man anschließend die obere Grenze von tZyklus=3,4 ms, so liegt praktisch die gesamte Stichprobe im geforderten zulässigen Bereich:<div align="center">[[Bild:Software_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_ausschussmin_og3_4ms.gif| ]]</div>
* Es wird im Extremfall nun eine Erwärmung der Spule von ca. 40 K erreicht. Im Mittelwert bleibt die Erwärmung jedoch unter 30 K.
* Im Beispiel wurde eine mittlere Zykluszeit von ca. 2.9 ms erreicht:<div align="center">[[Bild:Software_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_ausschussmin_null.gif| ]]</div>
Der veränderte Drahtdurchmesser wird wahrscheinlich keinem Normdraht entsprechen (0.3 / 0.32 / 0.35 / 0.37 / 0.40 / 0.45 / 0.50/ 0.55 / 0.60 / 0.65 / 0.70 / 0.75 / 0.80 / 0.90 / 1.00 / 1,20 / 1,50 / 1,80 / 2,00 mm):
* Im Beispiel verringerte sich der optimale Drahtdurchmesser von 0.6 mm auf 0.559 mm. Der anzustrebende Wert beträgt also 0.55 mm.
* Durch Festlegen geeigneter Grenzen für ''d_Draht'' muss man nun erneut eine Ausschuss-Minimierung vornehmen.
* Führt man das im Beispiel für den Draht von 0.55 mm durch, so sollte man die obere Grenze auf 0.55 mm setzen. Die untere Grenze sollte auf 0.53 mm gesetzt werden.
Infolge der wirksamen Draht-Restriktion verläuft die Ausschuss-Minimierung nicht mehr ganz so ungestört wie zuvor:<div align="center">[[Bild:Software_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_ausschussmin_normdraht.gif| ]]</div>
* Der Suchpfad der Ausschuss-Minimierung verläuft hier entlang der oberen Grenze für ''d_Draht''.
* Immer wenn die Nennwerte der Entwurfsparameter zu einer noch so geringen Verletzung dieser Restriktion führen, wird dafür eine Teilversagenswahrscheinlichkeit von 1 als gewichteter Anteil zum Maß des Gesamt-Versagens addiert.
* Die maximal auftretende Zykluszeit wird sich infolge der wirksamen Draht-Restriktion etwas vergrößern. Auch ist die Erwärmung geringfügig höher:<div align="center">[[Bild:Software_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_ausschussmin_mit_draht.gif| ]]</div>
'''''Achtung:''''' Die optimale Lösung für die Ausschuss-Minimierung soll '''nicht''' als neuer Startwert für die Optimierung übernommen werden. Die sich noch anschließende Robust-Optimierung wird wieder vom Nennwert-Optimum ausgehen!

=== Experiment-Ergebnisse (Ausschuss-Minimierung) ===

Mit welchen technisch sinnvollen Nennwerten ergibt sich bei Berücksichtigung von Normdrähten und einer zulässigen Spulen-Erwärmung von '''40 K''' eine möglichst schnelle Antriebslösung mit einer Ausschuss-Quote von "praktisch" Null:

* '''d_Anker''' (Ankerdurchmesser)
* '''R20_Spule''' (Widerstand der Spule bei 20°C)
* '''w_Spule''' (Windungszahl)
* '''d_Draht''' (aus Normreihe)
* '''Feder.k''' (Elastizitätskonstante)
* '''Feder.s0''' (Vorspannweg)
* '''Widerstand.R''' (Abschaltwiderstand)
* '''t_Zyklus''' (Mittelwert und unterer/oberer Grenzwert)

'''''Hinweis:'''''<br>Zu technisch sinnvollen Werten gehört auch die Wahl einer vernünftigen Anzahl von signifikanten Ziffernstellen!

'''Einzusendende Ergebnisse:'''
* Teilnehmer der Lehrveranstaltung [http://www.ifte.de/lehre/konstruktionstechnik/uebung.html "Konstruktionstechnik"] schicken ihre Ergebnisse per Mail an '''a.kamusella[[Bild:Char-ed.gif]]mailbox.tu-dresden.de'''
* Als Anhang dieser Mail sind mit (xx=Teilnehmer-Nummer 01...99) folgende konfigurierte Modelldateien möglichst in einem Archiv-File zu senden:
: '''Etappe6_xx.ism'''
: '''Etappe6_xx_Ausschuss.opy'''
* Einsendeschluss ist der Termin der nächsten Übungsetappe.

<div align="center"> [[Software:_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_Ausschuss-Problem|←]] [[Software:_SimX_-_Nadelantrieb_-_Robust-Optimierung_-_Grundlagen|→]] </div>

Software: FEM - Tutorial - Magnetfeld - Probabilistik - Kennfeld-Identifikation

2010-07-09T09:30:58Z

Roman Goldberg: Syntax geändert

[[Software:_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld|↑]] <div align="center"> [[Software:_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_Probabilistik_-_Momenten-Methode|←]] [[Software:_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_Kennfeld-Import_in_Systemmodelle|→]] </div>
<div align="center">'''Identifikation von Ersatzmodellen'''</div>
<div align="center">[[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_feld-ident_gauss1.gif| ]]</div>
<div align="center">'''''(OptiY-Version 4.0 erforderlich!)'''''</div>

Die Kraft- und Koppelfluss-Kennfelder eines E-Magneten kann man in Modellen der [[Software:_System-Simulation|System-Simulation]] als Ersatzmodell für eine konkrete Wandler-Geometrie benutzen:
# Die Ergebnisse einer FEM-Rastersuche kann man als Daten exportieren und die berechneten Abtaststellen des FEM-Modells als Stützstellen von 3D-Funktionsflächen in der System-Simulation verwenden. Aus diesen Stützstellen werden in der System-Simulation dann die Funktionswerte der Zwischenräume interpoliert.
# Die für die Durchführung der virtuellen Stichprobe von OptiY generierten mathematischen Funktionen der Antwortflächen kann man aber auch direkt als Modell-Code in Modelle der System-Simulation implementieren. Die Gewinnung von Ersatzmodellen nach diesem Prinzip wollen wir abschließend in diesem Übungskomplex durchführen.

Ausgehend vom Raster-Experiment '''Kennfeld-Berechnung''' konfigurieren wir nach dem Duplizieren ein Experiment '''Kennfeld-Identifikation'''.

== Workflow ==

Wir werden die probabilistische Simulation benutzen, um über den gesamten Arbeitsbereich unseres E-Magneten die Antwortflächen für ''F(i,s)'' und ''Psi(i,s)'' bilden zu lassen:
<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_feld-ident-workflow.gif| ]] </div>
* Die '''Nennwerte''' von Strom und Arbeitsluftspalt sind nun konstante Größen. Diese '''Streuungsmittenwerte''' sind so zu wählen, dass über den gesamten Streubereich numerisch instabile Werte nahe Null vermieden werden:
: i.Wert=5.01 A (i≥0.01 A)
: s.Wert=2.03 mm (s≥30 µm)
* Die '''Streuungen''' von Strom und Arbeitsluftspalt umfassen den gesamten Arbeitsbereich des E-Magneten:
: #i.Toleranz=10 A
: #s.Toleranz= 4 mm
: #i.Nennwert und #s.Nennwert Null (Streuungsmittenabstand=0)
* Die '''Gleichverteilung''' innerhalb der Streu-Bereiche gewährleistet eine gleichmäßige Abtastung, falls man eine Sample Methode verwendet.

== Versuchsplanung ==

Wir werden das Experiment so konfigurieren, dass wir möglichst anschaulich erkennen, wie genau die approximierten Antwortflächen die wirklichen Übertragungsfunktionen des Modells abbilden:

* Grundlage für die Berechnung der Antwortfläche soll das [http://de.wikipedia.org/wiki/Vollständiger_Versuchsplan '''Full Factorial Design'''] sein, welches praktisch einer Rastersuche entspricht. Wir wählen dafür ''' 6 Stufen''', um die Anzahl der Modellberechnungen mit 37 gering zu halten. Die Anzahl 37 ergibt sich aus dem Raster 6x6 plus einer Stützstelle in der Mitte.
* Wir setzen den '''virtuellen Stichprobenumfang=0''', da wir in diesem Experiment nur die Antwortflächen gewinnen.

== Approximation mit Polynom-Ansatz ==

* Wir verwenden zuerst die bereits für die Sample Methode genutzte '''polynomiale Approximation''' und beginnen mit der '''Polynomordnung=1'''.
* Nach Abschluss der Simulation liegen die Antwortflächen als Funktionen im (i,s)-Raum vor.
* In die Diagramme der 3D-Antwortflächen blenden wir die Punkte der berechneten Stützstellen ein.
* Schrittweises Erhöhen der Polynomordnung mit anschließendem Neuberechnen der Antwortflächen [[Bild:Software_OptiY_-_Button_-_response_surface_neu.gif| ]] führt zu einer optimalen Anpassung der Antwortflächen. Aus einem zu großem Wert für die Polynomordnung resultiert dann wieder eine Verschlechterung der Approximation, z.B. durch starke Welligkeit der Fläche.<br>'''''Achtung:''''' Ein Rücksetzen des Experiments mit erneuter Berechnung der realen Stichprobe ist dabei nicht erforderlich!
<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_f-ident-polynom_flaeche.gif| ]] </div>
* Ein Drehen des Diagramms der 3D-Antwortfläche zeigt deutlich die Lage der realen Modellwerte abseits der Antwortfläche. Besonders stark sind die Abweichungen bei der Kombination von minimalem Luftspalt mit minimalem Strom.
* Das Residuum-Plot zeigt quantitativ die Abbweichungen der realen Modellberechnungen von den identifizierten Antwortflächen. Bei der Magnetkraft liegt diese Abweichung überwiegend im Bereich von ca. 10%, was für ein Ersatzmodell häufig noch akzeptiert werden kann.
* Nicht akzeptabel ist jedoch, dass die Ersatzfunktion im Bereich kleiner Ströme zu negativen Kraftwerten führt, was physikalisch nicht korrekt ist!
* Ähnlich ungenau sehen die Ergebnisse für das Psi-Kennfeld aus:
<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_psi-ident-polynom_flaeche.gif| ]] </div>

'''''Schlussfolgerung:''''' <br>Polynom-Ansätze sind für die Bildung von globalen Ersatzmodellen bei nichtlinearem Übertragungsverhalten nicht besonders gut geeignet.

== Approximation mit Gauss-Prozess ==

Der [http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_process Gauss-Prozess], angewandt in der Geostatistik auch als [http://de.wikipedia.org/wiki/Kriging Kriging] bekannt, ist ein statistisches Verfahren, mit dem man Werte an Orten, für die keine Probe vorliegt, durch umliegende Messwerte interpolieren oder auch annähern kann.

Der Gauss Prozess besteht aus einem globalen Modell '''f(x)''' und einem stochastischen Prozess '''Z(x)''', welcher die mögliche Abweichung von dem globalen Modell beschreibt:
<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_formel_gauss-prozess.gif| ]] </div>
* '''x''' ist ein m-dimensionaler Parametervektor.
* '''Y(x)''' ist der Ergebnisvektor für den Punkt '''x''' im Parameterraum.
* '''f(x)''' sind Polynome beliebiger Ordnung, welche zusammen mit den unbekannten Regressionskoeffizienten '''β<sub>i</sub>''' die [http://de.wikipedia.org/wiki/Regressionsfunktion Regressionsfunktion] bilden.
* '''Z(x)''' ist ein stationärer stochastischer Prozess mit dem ''Mittelwert'' Null, der ''Varianz'' '''σ''' und der ''Covarianz'' '''''R'''''. Dieser Anteil des Gauss Prozesses beschreibt das 95% Erwartungsintervall für jeden Punkt '''x''' des Parameterraumes.

In dem englischen Wikipedia-Artikel zum [http://en.wikipedia.org/wiki/Kriging Kriging] wird das für die Interpolation einer eindimensionale Funktion sehr anschaulich dargestellt:
<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_kriging-interpolation.gif| ]] </div>
Die berechneten Grenzverläufe des Erwartungsintervalls werden wesentlich bestimmt durch das Erfahrungswissen in Hinblick auf den erwartenden Verlauf der zu interpolierenden Funktion zwischen den bekannten Werten der Stichproben-Exemplare. Diese Erwartung wird durch die Wahl einer geeigneten [http://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianz_(Stochastik) Covarianz-Funktion] '''''R''''' beschrieben.
* In OptiY sind unterschiedlichste Covarianz-Funktionen '''''R''''' iplementiert. Diese beschreiben den Verlauf des 95% Erwartungsintervalls zwischen den Stützstellen in Abhängigkeit von der Stützstellendichte. Die folgende Notation bezieht sich auf zwei Stützstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> im Abstand (x<sub>1</sub>−x<sub>2</sub>):
# '''Square Exponential'''<br> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_covarianz_square_exponential.gif| ]]
# '''Exponential'''<br> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_covarianz_exponential.gif| ]]
# '''Gamma-Exponential'''<br> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_covarianz_gamma_exponential.gif| ]]
# '''Matern Class 3/2'''<br> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_covarianz_matern_class_3_2.gif| ]]
# '''Matern Class 5/2'''<br> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_covarianz_matern_class_5_2.gif| ]]
# '''Rational Quadratic'''<br> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_covarianz_rational_quadratic.gif| ]]
* Der allgemeine Fall für Exponential-Funktionen ist ''Gamma-Exponential'', die anderen beiden Exponentialfunktionen sind die Spezialfälle für γ=1 bzw. γ=2.
* Die ''Matern Class'' Funktionen sind Erweiterungen der Exponential-Funktion.
* Die Hyper-Parameter '''w''', '''γ''' and '''α''' werden mittels der Maximierung der [http://de.wikipedia.org/wiki/Maximum-Likelihood-Methode Likelihood-Funktion] der [http://de.wikipedia.org/wiki/Multivariate_Normalverteilung multivariaten Normalverteilung] ermittelt.

Über die Polynomordnung des globalen Modells kann man einen Kompromiss finden zwischen bester Anpassung der interpolierten Regressionsfunktion an vorhandene Stützstellen und optimalem Verlauf zwischen diesen Stützstellen:
* Wie im vorherigen Abschnitt "Approximation mit Polynom-Ansatz" beschrieben, bestimmt die Polynomordnung des globalen Modells '''f(x)''' die allgemeine Richtung ('''globale Anpassung''') der Regressionsfunktion. Die dabei verbleibenden Residuen sind noch sehr groß.
* Der stochastische Prozess '''Z(x)''' hat dann die Aufgabe, diese verbleibenden Residuen mittels der Covarianz-Funktion (Normal-Verteilung) zu eliminieren ('''lokale Anpassung''').
* Wenn die Anzahl der Stützstellen bzw. der Daten hinreichend groß ist und man die verbleibenden Residuen statistisch auswertet, entsteht eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung Normal-Verteilung] (auch Gauss-Verteilung genannt) mit dem Mittelwert=0. Das ist die ursprüngliche Idee des Gauss-Prozesses.
* Wenn man die globale Anpassung mit einer zu hohen Ordnungen der Polynome durchführt, besitzt die Kurve mehr Freiheitsgrade als nötig. Das führt dann zu Welligkeiten zwischen den Stützstellen, weil dies durch keine Zwangsbedingungen verhindert wird.

Dieses Prinzip der Bildung von Ersatzmodellen (Antwortflächen) werden wir nun auf unser Kennfeld-Problem anwenden. Wir nutzen dafür das bereits konfigurierte Experiment ''Kennfeld-Identifikation'' ohne erneute Berechnung der Stichprobe:
* Wir wählen für die beiden Ergebnisgrößen '''F''' und '''Psi''' zur Approximation den '''Gauss Prozess''' und beginnen mit der kleinsten '''Polynomordnung=0'''. Als Covarianz-Funktion beginnen wir mit '''Exponential''':
<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_covarianz_wahl_exponential.gif|top]] [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_gauss_process_polynomordnung_0.gif|top]]</div>
* Zusätzlich zu den Residuen und der 3D-Antwortfläche öffnen wir für jede Ergebnisgröße auch die Schnittdiagramm. Innerhalb der Schnittdiagramme aktivieren wir die Darstellung des Vertrauenintervalls.
* Nach dem Neuberechnen der Antwortflächen [[Bild:Software_OptiY_-_Button_-_response_surface_neu.gif|middle]] ergibt sich eine gute Approximation für beide Kennfelder: <div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_gauss_kraft_ord0_exponential.gif| ]] [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_gauss_psi_ord0_exponential.gif| ]]</div>
* '''Positiv''' fällt auf, dass im Unterschied zum Polynom-Ansatz:
# physikalisch korrekt keine negativen Kräfte oder Koppelflüsse berechnet werden!
# die Residuen zeigen, dass sämtliche Punkte der echten Stichprobe exakt (max. 2E-13) in die identifizierte Ersatzfunktionen F=f(s,i) bzw. Psi=f(s,i) eingebettet sind: <div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_gauss_residuen_ord0_exponential.gif| ]] </div>
* '''Negativ''' fällt auf, dass:
# die identifizierten Kennfelder auf Grund der Polynomordnung=0 für die globale Anpassung schwache Knicke an den Stützstellen besitzen. Hier würde man physikalisch eine stetige Ableitung der Kennfelder erwarten.
# die 95% Vertrauensintervalle zwischen den Stützstellen mit ca. ±20% des Maximalwertes "riesig" sind:<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_gauss_vertrauen_ord0_exponential.gif| ]] </div>
Insbesondere den Aspekt des Vertrauensintervalls wollen wir näher betrachten:
* Um die obige Darstellung der Vertrauensintervalle zu erhalten, müssen wir:
# die Anzeige der Stützpunkte für die Schnittdiagramme aktivieren.
# die aktuellen Werte der Streugrößen auf eine Stützstellen-Reihe setzen (z.B. #i=6.01 A und #s=2.03 mm).
* An den Stützstellen selbst ist die Breite des Vertrauensintervalls immer Null, da der Wert bekannt ist.
'''''Hinweis:'''''
* Die berechneten Vertrauensintervalle resultieren nur aus den benutzten mathematischen Ansätzen. Am Beispiel können wir dem interpolierten Kraftverlauf wesentlich stärker vertrauen! Wir wissen (im Unterschied zum mathematischen Formalismus), dass sich die Kraft zwischen den Stützstellen monoton ändert (ohne "Welligkeit").
* Die Vertrauensintervalle markieren den ''Worst Case'' der Unsicherheit bei fehlenden Kenntnissen zu den abgebildeten physikalischen Zusammenhängen.

Um ein Gefühl für die Wirkung der Polynomordnung und der unterschiedlichen Covarianz-Funktionen auf die Qualität der Antwortflächen zu erhalten, werden diese Parameter im Folgenden systematisch verändert:

'''1. Polynomordnung'''
* Wir erhöhen die Polynomordnung für beide Ergebnisgrößen schrittweise um 1.
* Nach dem Neuberechnen der Antwortflächen [[Bild:Software_OptiY_-_Button_-_response_surface_neu.gif|middle]] ergibt sich im Beispiel eine Verschlechterung des Ersatzmodells in Hinblick auf das physikalische Verständnis:<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_gauss_kennfelder_ord1_exponential.gif| ]] </div>
# Für die Magnetkraft entstehen wie beim Polynomansatz negative Werte.
# Die Welligkeit beider Anwortflächen nimmt mit steigender Ordnungszahl zu.

Man sollte die kleinste Polynomordnung verwenden, welche zu physikalisch plausiblen Ersatzmodellen führt! Das wird meist die Polynomordnung=0 sein.

'''2. Covarianz-Funktion'''

Wir setzen die Polynomordnung auf den mit dem einfachen Exponential-Ansatz ermittelten optimalen Wert, bevor wir mit den unterschiedlichen Covarianz-Funktionen experimentieren:
* Höherwertige Covarianz-Funktionen führen bei unseren monotonen, stetigen Kennfeldern zu minderwertigen Ergebnissen im Vergleich zum einfachen Exponential-Ansatz:<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_gauss_kraft_ord0_square_exponential.gif| ]] </div>
# Es wird zwar ein schmaleres Vertrauensintervall berechnet, was aber nicht mit dem physikalischen Verständnis des Magnetmodells korreliert!
# Die Kennfelder erhalten eine verstärkte Welligkeit, welche z.B. bei der Magnetkraft zu physikalisch sinnlosen negativen Kraftwerten führen kann.
* Je komplizierter die gewählte Covarianz-Funktion ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass die globale Approximation für den Gauss-Prozess misslingt:<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_gauss_psi_ord0_matern_class_5_2.gif| ]] </div>
* Die Identifikation der Parameter für die optimale globale und lokale Anpassung erfolgt mittels numerischer Optimierung. Besitzt die Zielfunktion infolge ihrer Komplexität viele lokale Extremwerte, wird unter Umständen das globale Optimum nicht gefunden.
* Im Beispiel führt die Covarianz-Funktion ''Matern Class 5/2'' für das Psi-Kennfeld bei ''Polynomordnung''=0 zu obiger unsinniger Lösung.
* Erst eine Erhöhung auf ''Polynomordnung''=2 führt mit dieser Covarianz-Funktion zu einer Kennfeld-Qualität, die wir bereits mit ''Polynomordnung''=0 und einfachem ''Exponential''-Ansatz erreichten:<div align="center"> [[Bild:Software_FEM_-_Tutorial_-_Magnetfeld_-_optiy_gauss_psi_ord2_matern_class_5_2.gif| ]] </div>
* Das enge 95% Vertrauensintervall bei diesem komplexeren Ersatzmodell hat auch hier keine Bedeutung in Hinblick auf die physikalische Korrektheit der identifizierten Antwortfläche!

== Export des Ersatzmodells ==

Unabhängig davon, nach welchem Verfahren die Antwortflächen des Modells approximiert wurden, kann man die identifizierten mathematischen Funktionen als Programm-Code exportieren ('''''Analyse - Antwortflächen - Modell Export'''''):
* Zur Zeit kann in OptiY ein Quelltext als ''C-Code'', ''Modelica-Code'' oder als ''m-Matlab'' erzeugt werden.
* Wir speichern unser Ersatzmodell als '''C-Code''' in die Datei '''Magnet_xx.c'''. ('''xx'''=Teilnehmer-Nummer in der Lehrveranstaltung).
* Dieser Quelltext enthält unter Benutzung der gewählten Covariance-Funktion die identifizierten Gauss-Ketten für alle Kriterien/Restriktionen (im Folgenden gekürzt):

double Covar_F(double x1[],double x2[],double p[])
{
double Co, W;
W = 0;
for(int i = 0; i<2; i++) {
W = W + fabs((x1[i]-x2[i])*p[i]);
}
Co = exp(-W);
return Co;
}

double F(double #i, double #s)
{
double p[2];
double x1[2];
double x2[2];
double y = 29.6033584;
p[0] = 0.0953874971;
p[1] = 0.639066599;
x1[0] = #i;
x1[1] = #s;
x2[0] = 5.01;
x2[1] = 2.03;
y = y-3.56544484*Covar_F(x1,x2,p);
x2[0] = 0.01;
x2[1] = 0.03;
y = y-234.552394*Covar_F(x1,x2,p);
x2[0] = 2.01;
x2[1] = 0.03;
y = y+232.803719*Covar_F(x1,x2,p);
:
:
x2[0] = 10.01;
x2[1] = 4.03;
y = y-1.36321395*Covar_F(x1,x2,p);
return y;
}

double Covar_Psi(double x1[],double x2[],double p[])
{
double Co, W;
W = 0;
for(int i = 0; i<2; i++) {
W = W + fabs((x1[i]-x2[i])*p[i]);
}
Co = exp(-W);
return Co;
}

double Psi(double #i, double #s)
{
double p[2];
double x1[2];
double x2[2];
double y = 0.0426131121;
p[0] = 0.332335577;
p[1] = 0.640793101;
x1[0] = #i;
x1[1] = #s;
x2[0] = 5.01;
x2[1] = 2.03;
y = y+0.0020486711*Covar_Psi(x1,x2,p);
x2[0] = 0.01;
x2[1] = 0.03;
y = y-0.0457279401*Covar_Psi(x1,x2,p);
x2[0] = 2.01;
x2[1] = 0.03;
y = y+0.0346149278*Covar_Psi(x1,x2,p);
:
:
x2[0] = 10.01;
x2[1] = 4.03;
y = y+0.0100595855*Covar_Psi(x1,x2,p);
return y;
}

== Hinweise ==

Die beschriebene Vorgehensweise für die Identifikation von Ersatzmodellen als Antwortflächen mittels Gauss-Prozess ist nur unter den folgenden Randbedingungen durchführbar:
# Es existieren bereits hinreichend viele Stützstellen für das zu identifizierende Modell innerhalb des vorgesehenen Wertebereiches der freien Parameter.
# Die Anzahl der freien Parameter ist überschaubar (z.B. maximal drei).
# Man besitzt bereits qualitative Vorstellungen zu den Eigenschaften der Antwortflächen.

Trifft dies nicht zu, muss man angepasste Strategien verwenden, um mit erträglichem Aufwand hinreichend genaue Ersatzmodelle zu identifizieren. Die Nutzung des adaptiven Gausss-Prozesses zur Beschränkung der Stützstellen auf das unbedingt notwendige Maß wird in einem separaten Übungskomplex des FEM-Tutorials beschrieben.

'''Qualität der Ableitung:'''
* Benötigt man innerhalb der Systemsimulation partielle Ableitungen der identifizierten Funktionen, so muss man dies als zusätzliches Qualitätsmerkmal berücksichtigen. Im Beispiel trifft dies für '''psi(i,s)''' zu, denn die zeitliche Ableitung des Koppelflusses entspricht im Netzwerkmodell der induzierten Spannung in der Spule.
* Leider kann man die Qualität partieller Ableitungen der indentifizierten Antwortflächen innerhalb des OptiY nur sehr grob beurteilen:
# Knicke bewirken Sprünge der Ableitung
# Welligkeit kann zu Vorzeichenwechsel der Ableitung führen
* Um die physikalische Sinnfälligkeit der Ableitung zu beurteilen, muss man zur Zeit diese Ableitung auf Basis des exportierten Modell-Codes berechnen und Darstellen!

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